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(張碩)四階問題有限元方法的基礎算法和理論方面取得進展
2020-05-13 | 编辑:

  有限元方法是數值求解偏微分方程的最有力的工具之一,已經廣泛得到成功應用,作爲一門響應實際驅動而具有非常強的理論性的方法論學科獲得了長足的發展。在已有的研究基礎上,如何做到更好的與實際計算條件相匹配、與並非專研有限元的用戶的知識背景相結合、以及如何充分發揮多年研究積累起來的豐富的算法、理論和軟件成果的積極作用,都是對有限元方法的設計和分析提出的自然的要求。作爲從二階橢圓問題向高階問題和更複雜問題過渡的中間承啓,四階橢圓問題有限元方法的研究比較集中地體現了這些方面的要求。 

  四階橢圓問題指不高于四階而可以導出二階 Sobolev 空間上的橢圓型雙線性形式的微分方程,是數學和應用科學中一類重要的模型問題,內涵豐富、應用廣泛,其有限元方法研究具有重要意義,相應地,在貼近實際弱化條件發展算法、總結定性特征並指導有針對性的算法設計等方面都面臨更大的難度,有很多基本問題還沒有解決。同時,四階算子常常在形式上表現爲二階算子的組合,從而二階問題的研究經驗看起來應該在四階問題的研究中發揮更大作用; 這是一個很自然的要求,但如何設計算法並在理論上給以保證,實際上仍很有研究空間。 

  在這樣的啓發和驅動下,張碩在四階問題相關領域開展有限元基礎算法和理論研究,完成了一些工作。     

  1 無結構網格雙調和方程有限元系統最優求解器設計  

  用有限元格式離散微分方程産生大規模線性代數方程組,其求解是有限元方法求解微分方程全過程中最耗費時間和計算資源的步驟,爲其設計最優求解算法是計算數學的一個基本問題。元形式 (primal formulation) 的雙調和方程模擬板的最小勢能原理,從實際應用的條件出發,在不假設網格具有分層結構的應用條件下設計雙調和方程有限元系統的最優求解器具有明確的理論意義和應用價值;同時,這個問題的研究尚少見相關結果,具有一定的挑戰性。      

  張碩和合作者提出了一套算法([張碩-Xu: SINUM2014]), 用于求解離散雙調和方程的各類邊值問題所得到的有限元線性系統, 在不假設網格具有分層結構的條件下,嚴格證明了這套算法的計算複雜度是最優的,從而在文獻中首次證明了無結構網格上雙調和方程有限元系統可以最優求解。這套算法適用于所知的各種協調元和非協調元針對多邊形區域導出的系統,特別地,不依賴于理論分析中一般用到的標准的區域凸性假設。這套方法的主要的要素是,精准配置 Poisson 方程有限元系統求解器而設計了形式統一、計算代價最優的最優預條件子; 事實上,預處理之後的系統可能含有若幹個漸進無界的特征值,通過數學上的分析,這些無界特征值的數目得到了嚴格刻畫,它是固定有限的、極小且與問題規模無關,從而這幾個無界特征值的可能存在不影響整個算法的計算效率。此外,因爲主要的工作量以求解 Poisson 方程的形式進行,這套算法可以很自然地與通用的軟件包和種類豐富的 Poisson 方程求解器對接。      

  2 雙調和方程低次豐滿有限元格式設計  

  求解雙調和方程的有限元格式,如果所采用分片多項式的總次數不高于 k 次而誤差的能量模的收斂速度達到 O(hk1) 量級, 則稱此有限元格式是豐滿的(optimal)。豐滿格式的收斂速度和其使用的分片多項式空間互相對應地達到了理論上界和下界,是不可改進的,具有鮮明的臨界特征。精度的豐滿與否是刻畫有限元格式的重要的定性特征,也易爲其它知識背景的研究者所理解和接受,具有基本的理論意義,然而,一些看起來很簡單的情形下,其設計問題仍未獲得解決。例如,圖1展示了正方形區域兩種最典型網格。de Boor-DeVore-Hoellig 證明,在圖左類網格上,三次連續可微有限元格式求解雙調和方程必然會丟失一階精度,三次豐滿格式即付之阙如; 圖右正方形網格上,求解雙調和方程(甚至 Poisson 方程)的二次豐滿格式亦無人知。這樣的狀況讓人多少有些意外,也說明豐滿有限元格式的研究仍有比較基本的意義和較大的空間。  

      

 

   1. 两类基本网格示意圖.  

  張碩提出了一种四边形网格上的非协调有限元格式([張碩: IMANA]),該格式采用分片二次多項式離散雙調和方程,在標准的光滑性假設下具有一階能量模精度,從而是豐滿的。這是雙調和方程豐滿有限元格式在四邊形網格甚至正方形網格上所知的第一個結果,是理論上的最低次結果。該非協調元格式采用類似樣條有限元的方式來定義,標准的基于節點插值算子的誤差分析技巧無法生效。作者爲此設計了將逼近性誤差轉化爲輔助有限元問題離散誤差的分析方法,對相關科學問題給出了正面的回答。上述輔助有限元問題是借助前期工作 [張碩: NM2016] 中提出的四邊形網格上的有限元 Stokes 複形來構造的。有限元複形是主要由 Arnold 等人倡導發展起來的有限元外計算理論的基本研究對象,是過去二十年的研究熱點。此文的結果是所知的第一個在一般四邊形網格上成立的多項式有限元複形。類似的研究方法可以推廣到在形狀規則的任意三角形網格上(含圖1三角形網格)構造雙調和方程三次豐滿有限元格式。      

  3  一般四階橢圓型問題降階格式構造  

  降階格式(包括傳統上稱爲混合元的格式)會給四階問題計算帶來一些方便; 例如,降階格式只需要离散一阶 Sobolev 空间,从而有限元空间较容易保有嵌套性质,張碩及其合作者利用此性质设计了基于降階格式的四阶特征值问题的最优多重网格方法,并针对若干模型问题取得了成功实践,相关文章已经发表于J. Sci. Comput. IMA J. Numer. Anal.。降階格式还可以充分利用二阶问题的大量算法、理論、代码和软件产品,对于用户更加友好。考虑到一事一议地设计基于元形式的有限元格式的难度,在“一般四阶问题”的设定下发展构造降階格式的统一方法既有助于打好与不断涌现的新的四阶问题的“遭遇战”,也具有非常具体的实际意义。  

  四阶问题降階格式方面已经有一些工作。以双调和方程为例,常见的使用困难有:降阶形式与元形式的等价性一般依赖于额外的正则性假设、其稳定性结果一般建立在负阶次 Sobolev 空间上、而且这些降階格式一般假设源项具有 H1 及以上正則性而不討論源項僅有 H2 正则性的情形。这些特点都需要用户在使用时多加小心。对于其它四阶问题来说,基于同样思路的降階格式也会遇到类似的情况。  

  張碩研究了一般四阶问题降阶有限元格式的构造问题([張碩: NM2018]),構造了建立在一階空間組合上的穩定的變分方程組, 實現無條件等價的降階處理;在此基礎上提出了漸進保結構的離散格式的統一框架。該設計框架克服了上面提到的常見困難,是對一般的四階問題有效的,已經于若幹常見和新近研究較多的四階問題上得到驗證。  

  這種方法框架的基礎是空間的穩定求和理論(及相應的結構性穩定分解理論),這種基于空間結構的構造理念已經在若幹問題上表現出生命力。例如,[張碩: M2AN2018]基于空间结构性分解设计了四重旋度方程的解耦格式,这是该问题首个无需额外正则性假设即可证明与元形式等价的降階格式; 同時,借助于該形式,申請人建立了模型問題的正則性估計,確認了先前發表于 Mathematics of Computation Numerische Mathematik等刊物的一些工作中作爲誤差分析和格式等價性基礎的正則性假設的有效性。    

  代表性     

  [張碩-Xu: SINUM2014] Z. & Jinchao Xu: Optimal solvers for fourth-order PDEs discretized on unstructured grids, SIAM Journal on Numerical Analysis, 52(2014), 282307.     

  [張碩: NM2016] Z.: Stable finite element pair for Stokes problem and discrete Stokes complex on quadrilateral grids, Numerische Mathematik 133(2016), 371408.      

  [張碩: M2AN2018] Z.: Mixed schemes for quad-curl equations, ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 52(2018) 147161.    

  [張碩: NM2018] Z.: Regular decomposition and a framework of order reduced methods for fourth-order problems, Numerische Mathematik, 138(2018), 241-271.    

  [張碩: IMANA] Z.: Minimal consistent finite element space for the biharmonic equation on quadrilateral grids, IMA Journal of Numerical Analysis, 已在線發表. Doi: 10.1093/imanum/dry096. 

    

    

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